A question for March

lpcr · Utente Non Attivo Registrato: Jan 17, 2007 Messaggi: 190

Si... e sono riuscito a sbagliare pure la riscrittura....
va beh... vale la pena che correggo? Oramai si è capito capito dove mettere mano.
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I biologi pensano di essere biochimici.
I biochimici pensano di essere chimici.
I chimici pensano di essere fisici.
I fisici pensano di essere Dio.
Dio pensa di essere un matematico.

lpcr · Utente Non Attivo Registrato: Jan 17, 2007 Messaggi: 190

Allora, riscrivo decentemente, o almeno ci provo, come è fatta la funzione biunivoca esplicita da R in R^2, dato che stamattina sono stato folgorato sulla via di Damasco da qualche "imprecisione" (sperando sempre che a qualcuno interessi ancora, visto che sembra che l'unica che caga i miei sproloqui sia Ipazia!).
Dicevamo...
Invece di costruire una funzione da R in R^2 ne costruirò una da (0,1) in (0,1)x(0,1). A voi comporla con la vostra funzione preferita che manda la retta nell'intervallo aperto Gioia

- Step 1:
Costruiamo una funzione iniettiva da (0,1) in (0,1)x(0,1) ponendo:
f(x) = (x, 0,11111.....)

- Step 2:
COstruiamo una funzione iniettiva da (0,1)x(0,1) in (0,1) in questo modo: se x è un elemento di (0,1), questo è esprimibile come un allineamento decimale infinito (eventualmente periodico di periodo 0) del tipo 0.x1 x2 x3 ...
Tale allineamento è essenzialmente unico, a patto di "scartare" gli allineamenti periodici di periodo 9.
Quindi l'operazione di associare ad ogni reale in (0,1) un allineamento può essere fatto in maniera iniettiva senza l'uso dell'assioma della scelta, in quanto la mia funzione di scelta in questo caso è esplicitabile con "scegliere tra gli allineamenti possibili, quello che non ha periodo 9". So che tale allineamento esiste e così questa diventa a pieno titolo una funzione di scelta perchè il suo dominio è finito (è composto da al più due elementi), quindi il processo può essere eseguito in un numero finito di passi.
Fatta questa premessa, posso definire una funzione iniettiva da (0,1)x(0,1) in (0,1) ponendo:
g(x,y) = 0.x1 y1 x2 y2 x3 y3 ....

- Step 3:
Costruiamo, grazie alle due funzioni definite ai passi precedenti, una funzione biettiva da (0,1) in (0,1)x(0,1) utilizzando il teorema di Cantor-Schroder-Bernstein (data una funzione iniettiva da H a K e una iniettiva da K in H esiste una funzione biunivoca da H a K)... o meglio la sua dimostrazione.
Poniamo C_0 l'insieme formato dagli elementi di (0,1) che non sono immagine tramite g di nessun elemento di (0,1)x(0,1).
Questi sono elementi del tipo (ovviamente restringendosi a quelli corrispondenti ad elementi di (0,1)):
- 0.9a9a9a9a9a....
- 0.a9a9a9a9a9a9....
- 0.A9a9a9a9...
- 0.Aa9a9a9a9...
(Notazione:
una lettera minuscola è una cifra da 0 a 9;
una lettera maiuscola è una sequenza finita di cifre da 0 a 9, eventualmente vuota.)

Notiamo adesso che tutti i casi possono essere riscritti in modo generale come elementi del tipo:
0.A9a9a9a9a9a9a9a....
Adesso, poniamo C_{i+1}=g(f(C_i)) e C l'unione di tutti i C_i, al variare di i in N. Il teorema di Cantor-Schroder-Bernestein ci assicura (ma non è difficile convincersene) che la funzione:

| f(x) se x sta in C
h(x) = |
| g^-1(x) se x non sta in C

è biunivoca da (0,1) in (0,1)x(0,1).
A questo punto esplicitiamo C. Abbiamo:
C_0 = {elementi del tipo 0.A9a9a9a9a9a9a9a....}
C_1 = g(f(C_0)) = g(0.A9a9a9a9a9a9a9a, 0.11111....) = 0.B91a191a191a191a1....
C_2 = g(f(C_1)) = g(0.A91a191a191a191a1, 0.11111....) = 0.B9111a1119111a1119111a111....
C_3 = g(f(C_2)) = g(0.A9111a1119111a1119111a111...., 0.11111...) = 0.B91111111a1111111....
.
.
.
.

Indichiamo adesso con * una sequenza di cifre "1" di cardinalità 1+2+4+...+2^i per un qualche i in N o la sequenza vuota.
Quindi C è l'insieme degli allineamenti decimali del tipo:
0.A9*a*9*a*9*a*9*a*...........

Ricapitolando:

| (x, 0.1111...) se x è della forma 0.A9*a*9*a*9*a*9*a*...........
h(x) = |
| (0.x1 x3 x5..., 0.x2 x4 x6...) altrimenti

Speriamo, almeno stavolta, di non aver fatto uno dei miei soliti errori di distrazione!

Ammesso che il tutto sia corretto... e di non sforare troppo... ne esiste secondo te una esplicita (ma anche no) e (rullo di tamburi) almeno continua?
L'unica cosa che so è che non ne esiste una (una qualsiasi, esplicita con o senza assioma della scelta) continua con inversa continua... ma tutto questo è noia...
Lo shift è mooooolto più divertente!
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Ipazia · Inviato: Gio Mar 15, 2007 11:33 am Oggetto:

Tornando allo shift... come mi è venuto in mente leggendo la ToDo List...
Su un altro sito avevo trovato una bellissima dimostrazione del fatto che se la cardinalità dell'insieme è uguale a 2 il semi-shift non esiste. (Giuro, ho visto quel sito DOPO aver trovato le soluzioni che ho postato qui!!!) Ora, la dimostrazione non la ricopio (se a qualcuno dovesse interessare, segnalo il sito), ma sono riuscita ad estendere la dimostrazione di impossibilità ai casi in cui la cardinalità NON sia del tipo (4k) o (4k+1). In realtà anche lì c'era scritto che si poteva estendere la dimostrazione, ma non c'era scritto come... Ora, detto questo, se la cardinalità è del tipo (4k) o (4k+1) ed è un quadrato perfetto ho già messo la soluzione nei primi post, ma resta per me un mistero il caso in cui la cardinalità sia del tipo (4k) o (4k+1) ma non sia un quadrato perfetto. Esiste il semi-shift? Se sì, qual è? Boh!!! Ci penserò... se nessuno dovesse aggiungere niente di nuovo, per favore lpcr prima o poi metti un suggerimento!!!
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Ciao!

.:Ipazia:.

lpcr · Utente Non Attivo Registrato: Jan 17, 2007 Messaggi: 190

Niente suggerimenti... almeno per ora, nel senso che lascio a qualcuno il tempo di aggiungere qualcosa di nuovo.
Ah beh si... qualcosa lo posso aggiungere... odio ammetterlo ma da qui in poi bisogna costruire Triste

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lpcr · Utente Non Attivo Registrato: Jan 17, 2007 Messaggi: 190

Hint a little hint of me...
Bah pessima... comunque...
Provate a vedere dove vanno le successioni periodiche e quelle non periodiche.
Si lo so è criptico d'oh!

... per questo l'ho scritto grande Evil or Very Mad

E comunque non disperate che pure da qui c'è ancora un pò di strada da fare...
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